第二章：度量空间基础
度量空间是拓扑学和分析学的重要概念，它为抽象的拓扑概念提供了具体的"距离"内涵。在度量空间中，我们可以精确地测量点与点之间的"距离"，这使得许多几何直观在抽象空间中得以保持。
2.1 度量空间的定义
距离的抽象化
在日常生活中，我们习惯用尺子测量两点间的距离。度量函数就是这个概念的数学抽象。
定义 2.1.1（度量函数） 设 是非空集合，函数 称为 上的度量（或距离函数），如果它满足：
- 非负性与同一性：
- 对称性：
- 三角不等式：
称 为度量空间。
几何直观
- 非负性：距离总是非负的，相同的点距离为0
- 对称性：从A到B的距离等于从B到A的距离
- 三角不等式：直线距离最短，绕道会增加距离
经典的度量空间例子
例 2.1.1（欧几里得空间） 在 上，欧几里得度量定义为：
例 2.1.2（离散度量） 在任意集合 上，离散度量定义为：
例 2.1.3（-度量） 在 上，-度量（）定义为：
特别地：
- ：曼哈顿度量
- ：欧几里得度量
- ：上确界度量
2.2 度量空间中的拓扑概念
开球与闭球
定义 2.2.1（开球与闭球） 设 是度量空间，，：
- 开球：
- 闭球：
- 球面：
注意
在一般度量空间中，闭球不一定是开球的闭包！例如在离散度量空间中。
度量诱导的拓扑
定义 2.2.2（度量拓扑） 设 是度量空间。称集合 为开集，如果对任意 ，存在 使得 。
所有开集构成的集合族记为 ，称为由度量 诱导的拓扑。
定理 2.2.1 确实构成 上的一个拓扑。
证明思路： 需要验证拓扑的三个公理。关键是利用开球的性质来证明开集族对并和有限交运算封闭。
2.3 开核、闭包与导集
开核（内部）
定义 2.3.1（开核） 设 是度量空间，。 的开核（或内部）定义为：
理解
开核是集合 中所有"内点"构成的集合。内点就是那些"完全被 包围"的点。
定理 2.3.1（开核的性质）
- 是包含在 中的最大开集
- 是开集当且仅当
闭包
定义 2.3.2（闭包） 设 是度量空间，。 的闭包定义为：
等价地， 是包含 的最小闭集。
定理 2.3.2（闭包的性质）
- 是闭集当且仅当
导集（聚点集）
定义 2.3.3（聚点与导集） 设 是度量空间，，。
- 称 为 的聚点（或极限点），如果 的每个邻域都包含 中异于 的点
- 的所有聚点构成的集合称为 的导集，记为
定理 2.3.3（闭包与导集的关系）
证明： 需要证明两个包含关系。
设 ，则 的每个邻域与 相交。
- 若 ，则
- 若 ，则 的每个邻域都包含 中异于 的点，所以
显然 。若 ，则 的每个邻域与 相交，故 。
2.4 度量空间中开集和闭集的刻画
开集的等价刻画
定理 2.4.1 设 是度量空间，。以下条件等价：
- 是开集
- 对任意 ，存在 使得
- 可以表示为开球的并集
闭集的等价刻画
定理 2.4.2 设 是度量空间，。以下条件等价：
- 是闭集
- 包含其所有聚点
- 是开集
2.5 重要概念补充
稠密集
定义 2.5.1（稠密集） 设 是度量空间，。称 在 中稠密，如果 。
例 2.5.1 有理数集 在实数集 中稠密。
可分空间
定义 2.5.2（可分空间） 度量空间 称为可分的，如果它包含一个可数的稠密子集。
连通性
定义 2.5.3（连通空间） 度量空间 称为连通的，如果它不能表示为两个非空不相交开集的并。
2.6 经典例题与证明
例题1：开球是开集
例题 2.6.1 证明：在度量空间中，开球 是开集。
证明： 设 ，则 。
令 。我们证明 。
对任意 ，有 。由三角不等式：
因此 ，所以 。
这证明了 是开集。
例题2：闭包的性质
例题 2.6.2 证明：在度量空间中，，并举例说明等号不一定成立。
证明： 设 ，则 的每个邻域都与 相交。
因为 且 ，所以 的每个邻域都与 相交，也都与 相交。
因此 且 ，即 。
反例： 在 中，取 ，。 则 ，所以 。 但 ，，所以 。
例题3：导集的性质
例题 2.6.3 证明：。
证明： 设 ，则 的每个邻域都包含 中异于 的点。
若 的某个邻域 满足 ，则 。 由于 ，必有 ，所以 。
类似可证，若 的某个邻域与 不相交，则 。
若 的每个邻域都与 和 都相交，则 。
显然 ，所以 。类似地 。
2.7 练习题
练习 2.1 证明在离散度量空间中，每个子集都既是开集又是闭集。
💡 提示
在离散度量中， 当且仅当 ，否则 。考虑开球 的结构。
📝 答案
证明： 在离散度量空间 中，对任意 ，考虑开球 。
由于离散度量的定义：
因此 （单点集）。
每个子集都是开集： 设 ，对任意 ，有 。 因此 是开集。
每个子集都是闭集： 由于每个子集都是开集，所以每个子集的补集也是开集。 因此每个子集都是闭集。□
练习 2.2 设 是度量空间，。证明：
💡 提示
利用内部和闭包的定义，以及开集与闭集的对偶关系。证明两个包含关系。
📝 答案
证明：
第一个包含关系：
设 ，则存在 使得 。 这意味着 。 因此 不是 的聚点，所以 ，即 。
第二个包含关系：
设 ，则 。 由闭包的定义，存在 的邻域 使得 。 即存在 使得 ，因此 。 所以 。
综合两个包含关系，等式成立。□
练习 2.3 在 的欧几里得度量下，求下列集合的内部、闭包和导集：
💡 提示
对于 ：这是开单位圆盘。对于 ：这是可数集，考虑其聚点的位置。
📝 答案
对于 （开单位圆盘）：
内部：
因为 本身就是开集。
闭包：
包括边界圆周 。
导集：
每个内部点和边界点都是聚点。
对于 ：
内部：
因为 是可数集，任何点的邻域都包含不可数多个点不在 中。
闭包：
包括所有聚点。
导集：
坐标轴上的点 、 和原点 都是聚点。□
小结
本章介绍了度量空间的基础理论：
- 度量函数：为抽象集合提供"距离"概念的函数
- 度量拓扑：由度量诱导的拓扑结构
- 开核与闭包：描述集合"内在"和"包围"特性的重要概念
- 导集：刻画集合"聚集性"的工具
度量空间为拓扑概念提供了具体的几何内容，使得抽象的拓扑理论有了直观的解释。理解这些概念是学习分析学和拓扑学的重要基础。