第三章：度量空间中的收敛性

收敛性是分析学的核心概念，它描述了序列如何"趋向"某个极限。在度量空间中，收敛概念有了精确的数学表述，而Cauchy列和完备性则为研究极限的存在性提供了强有力的工具。

3.1 度量空间中的收敛列

收敛的定义

定义 3.1.1（收敛列） 设 是度量空间， 是 中的序列，。称序列 收敛到 ，记作 或 ，如果：

称 为序列 的极限。

直观理解

收敛意味着序列的项最终会任意接近极限点。给定任意小的"容忍度" ，总能找到某个位置 ，使得从这个位置开始的所有项都在极限点的 -邻域内。

收敛的基本性质

定理 3.1.1（极限的唯一性） 在度量空间中，收敛序列的极限是唯一的。

证明： 设 且 ，其中 。

设 ，取 。

由收敛的定义，存在 使得：

• 当 时，
• 当 时，

取 ，当 时：

这与 矛盾。

定理 3.1.2（收敛序列有界） 度量空间中的收敛序列是有界的。

证明： 设 ，取 ，存在 使得当 时，。

令 ，则对所有 ，有 。

子序列与收敛

定理 3.1.3 如果序列 收敛到 ，则它的任意子序列也收敛到 。

定理 3.1.4 序列 收敛到 当且仅当它的每个子序列都有子序列收敛到 。

3.2 Cauchy列

Cauchy列的定义

定义 3.2.1（Cauchy列） 设 是度量空间，序列 称为 Cauchy列，如果：

直观理解

Cauchy列的项彼此越来越接近。不同于收敛的定义（需要知道极限点），Cauchy条件只涉及序列本身的项，是一个"内在"的性质。

Cauchy列的基本性质

定理 3.2.1（收敛列是Cauchy列） 度量空间中的收敛列必是Cauchy列。

证明： 设 ，给定 ，存在 使得当 时，。

对于 ：

因此 是Cauchy列。

定理 3.2.2（Cauchy列有界） 度量空间中的Cauchy列是有界的。

定理 3.2.3 Cauchy列的收敛子序列的极限就是原序列的极限。

证明： 设 是Cauchy列，子序列 收敛到 。

给定 ：

1. 由Cauchy性质，存在 使得 时，
2. 由子序列收敛，存在 使得 时，

取 ，对 ，选择 使得 ：

因此 。

3.3 完备性

完备度量空间

定义 3.3.1（完备度量空间） 度量空间 称为完备的，如果 中的每个Cauchy列都收敛到 中的某点。

重要

完备性是度量空间的重要性质。在完备空间中，Cauchy条件等价于收敛，这为证明极限存在提供了强有力的工具。

完备空间的例子

例 3.3.1（完备空间）

• （实数的完备性定理）
• （复数空间）
• （有限维欧几里得空间）
• （闭区间上连续函数空间，配备上确界度量）

例 3.3.2（非完备空间）

• （有理数集，作为 的子空间）
• （开区间，作为 的子空间）

完备性的判定

定理 3.3.1 度量空间 完备当且仅当对任意递减的非空闭集序列 且 ，有 。

这里 是集合 的直径。

完备化

定理 3.3.2（完备化定理） 每个度量空间 都有唯一的完备化 ，即存在完备度量空间 和等距嵌入 使得 在 中稠密。

3.4 压缩映射定理

压缩映射

定义 3.4.1（压缩映射） 设 是度量空间，映射 称为压缩映射，如果存在常数 使得：

Banach不动点定理

定理 3.4.1（Banach不动点定理） 设 是非空完备度量空间， 是压缩映射，则 有唯一的不动点。

证明：存在性： 任取 ，构造序列 。

对 ：

因此 是Cauchy列。由完备性，。

由 的连续性：。

唯一性： 设 都是不动点，则：

由于 ，必有 ，即 。

3.5 经典例题与证明

例题1：Cauchy列的性质

例题 3.5.1 证明：度量空间中Cauchy列的子序列如果收敛，则原序列也收敛。

证明：（见定理3.2.3的证明）

例题2：有理数的非完备性

例题 3.5.2 证明有理数集 （配备通常的度量）不是完备的。

证明： 构造序列 ，其中 是 的前 位有理逼近。

例如：

该序列是 中的Cauchy列，但收敛到 。

因此 不完备。

例题3：完备空间的子空间

例题 3.5.3 证明：完备度量空间的闭子空间是完备的。

证明： 设 完备， 是闭子空间。

设 是 中的Cauchy列。由于 ， 也是 中的Cauchy列。

由 的完备性，。

由于 是闭集且 ，所以 。

因此 完备。

例题4：函数空间的完备性

例题 3.5.4 证明 （闭区间 上连续函数空间）配备上确界度量 是完备的。

证明： 设 是 中的Cauchy列。

对每个 ， 是 中的Cauchy列，设其极限为 。

需要证明：

1. 连续
2. 一致收敛到

由Cauchy性质，给定 ，存在 使得 时：

令 ，得到 。

这证明了一致收敛。由连续函数一致收敛的极限仍连续，。

3.6 重要定理补充

Baire定理

定理 3.6.1（Baire定理） 完备度量空间不能表示为可数个无处稠密集的并。

等价地：完备度量空间中，可数个稠密开集的交集是稠密的。

一致有界原理的几何版本

定理 3.6.2 设 是完备度量空间， 是从 到度量空间 的连续函数列。如果对每个 ，集合 有界，则存在 中的稠密开集 使得 等度连续。

3.7 练习题

练习 3.1 证明：度量空间中的有界序列不一定有收敛子序列。

💡 提示

在无穷维空间中构造反例。考虑 空间中的标准正交序列。

📝 答案

反例： 在 空间中，考虑标准正交序列 ，其中：

性质验证：

1. 有界性： 对所有 成立，所以序列有界。

2. 无收敛子序列： 对任意 ，有：

   因此 。

由于任意两项的距离都是 ，这个序列不能有收敛的子序列（收敛序列是Cauchy序列，项之间的距离必须趋于0）。

这说明在无穷维空间中，有界性不足以保证列紧性。□

练习 3.2 设 是度量空间。证明：如果 中每个有界序列都有收敛子序列，则 是完备的。

💡 提示

设 是Cauchy列，证明它有界，然后利用假设得到收敛子序列，最后证明原序列收敛。

📝 答案

证明： 设 是 中的Cauchy列。

第一步：证明 有界 由Cauchy性质，存在 使得当 时，。 设 ， 则对所有 ，有 ，所以 有界。

第二步：利用假设得到收敛子序列 由假设， 有收敛子序列 ，设 。

第三步：证明原序列收敛到 给定 ：

• 由Cauchy性质，存在 使得 时，
• 由子序列收敛，存在 使得 时，

选择 使得 ，则对 ：

因此 ，所以 完备。□

练习 3.3 构造一个例子说明：有界闭集的无穷序列，其直径趋于0，但交集可能为空（在非完备空间中）。

💡 提示

在有理数空间 中构造例子，利用无理数不在 中这一事实。

📝 答案

例子： 在度量空间 （有理数与通常度量）中，构造序列：

更精确地，取 的有理逼近序列 ，其中 ，定义：

性质验证：

1. 有界性： 每个 都包含在某个有界区间内
2. 闭性： 在 中， 是闭集
3. 直径趋于0：
4. 递减性： 可以调整构造使得
5. 交集为空：

因为如果存在 ，则 对所有 成立， 这意味着 ，但 。

这个例子在完备空间 中不可能出现，因为完备空间中递减闭集序列的交集非空。□

练习 3.4 证明：两个度量空间的完备化之间存在自然的等距同构。

💡 提示

设 和 是等距的度量空间， 是等距映射。证明 可以唯一延拓到完备化之间的等距同构。

📝 答案

证明： 设 和 是等距的度量空间， 是等距映射。 设 和 分别是它们的完备化。

第一步：构造延拓映射 对任意 ，存在 中的Cauchy列 使得 。

由于 是等距的， 是 中的Cauchy列：

在完备化 中， 收敛到某点，记为 。

第二步：证明定义的良好性 如果 和 都收敛到 ，则：

所以 和 收敛到同一点。

第三步：证明 是等距同构

• 等距性：
• 满射性： 由对称性和完备化的构造
• 单射性： 由等距性

第四步：唯一性 任何满足 的连续延拓都必须等于 ，因为 在 中稠密。□

小结

本章深入研究了度量空间中的收敛性：

• 收敛列：序列趋向极限的精确描述
• Cauchy列：不依赖极限存在性的收敛判据
• 完备性：保证Cauchy列收敛的空间性质
• Banach不动点定理：完备性的重要应用

完备性是分析学中的核心概念，它保证了许多分析方法的有效性。理解收敛性和完备性是学习泛函分析、实分析等高级课程的基础。